ریاضیات 1

دستگاه مختصات کروی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد

نقطه‌ای که با دستگاه مختصات کروی نمایش داده شده است

در ریاضیات، دستگاه مختصات کروی یک دستگاه مختصات برای نمایش حساب‌ها و اعداد هندسی در فضای سه بعدی با استفاده از سه مختصه است: فاصلهٔ شعاعی یک نقطه از یک مبدأ ثابت، زاویهٔ سمت‌الرأس (zenith angle) از قسمت مثبت محور z و زاویهٔ گرایی (azimuth angle) از قسمت مثبت محور x.

محتویات

[نهفتن]

مشخصات

دستگاه مختصات کروی، دستگاه مختصاتی با سه مختصه‌است:

مختصه $ho$ (یا $r$ ) که روی کره‌های هم مرکز حول مبدا است.
مختصه $heta$ روی مخروط‌های دوار قائم حول محور $z$ با راس واقع در مبدا.
مختصه $phi$ که روی نیم صفحاتی که از محور قطبی $z$ می‌گذرد.

در فیزیک بنا به سنت جای $heta$ و $phi$ معکوس است یعنی $heta$ زاویه با محور $z$ است.

محدوده مختصات

سه مختصه در محدوه‌های زیر می‌توانند باشند:

مختصه $ho$ (یا $r$ ):

$0 le ho$

مختصه زاویه قطبی $heta$ :

$0 le heta le 2 pi$

مختصه زاویه سمتی $phi$ :

$0 le phi le pi$

رابطه با مختصات دکارتی

مختصات دستگاه کروی را با استفاده از روابط زیر به دستگاه مختصات دکارتی می‌توان تبدیل کرد:

برای مختصه $ho$ :

${ ho}=sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

برای مختصه زاویه قطبی $heta$ :

${ heta}=arctan left({frac{y}{x}} ight)$

برای مختصه زاویه سمتی $phi$ :

${phi}=arccos left({frac{z}{sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}} ight)$

مختصات دکارتی نیز را با روابط زیر می‌توان به دستگاه مختصات کروی برد:

مختصه $x$ :

${x}= ho , sinphi , cos heta quad$

مختصه $y$ :

${y}= ho , sinphi , sin heta quad$

مختصه $z$ :

${z}= ho , cosphi quad$

حساب برداری

بردار $A$ در مختصات کروی به صورت زیر نمایش داده می‌شود:

$overrightarrow{A} = A_roldsymbol{hat r} + A_ hetaoldsymbol{hat heta} + A_phioldsymbol{hat phi}$

ضرب داخلی و ضرب خارجی بردارها مانند تمامی دستگاههای مختصّات متعامد به همان فرمولبندی دستگاه دكارتی انجام میشود.
گرادیان تابع اسکالر $f$ به صورت زیر است:

$abla f = {partial f over partial r}oldsymbol{hat r} + {1 over r}{partial f over partial heta}oldsymbol{hat heta} + {1 over rsin heta}{partial f over partial phi}oldsymbol{hat phi}$

واگرایی بردار $A$ :

$abla cdot mathbf{A} = {1 over r^2}{partial left( r^2 A_r ight) over partial r} + {1 over rsin heta}{partial over partial heta} left( A_ hetasin heta ight) + {1 over rsin heta}{partial A_phi over partial phi}$

کرل بردار $A$ در دستگاه کروی:

$abla imes mathbf{A} = {1 over rsin heta} {partial over partial heta} left({partial over partial heta} (A_phi sin heta) - {partial A_ heta over partial phi} ight) oldsymbol{hat r} + {1 over r} left({1 over sin heta}{partial A_r over partial phi} - {partial over partial r} left( r A_phi ight) ight) oldsymbol{hat heta} + {1 over r}left({partial over partial r} left( r A_ heta ight) - {partial A_r over partial heta} ight) oldsymbol{hat phi}$

عملگر لاپلاسی بر روی بردار $f$ در مختصات کروی:

$Delta f = abla^2 f = {1 over r^2}{partial over partial r}left(r^2 {partial f over partial r} ight) + {1 over r^2sin heta}{partial over partial heta}left(sin heta {partial f over partial heta} ight) + {1 over r^2sin^2 heta}{partial^2 f over partial phi^2}$

تبدیل‌های دستگاه مختصات

دستگاه مختصات جغرافیایی

دستگاه مختصات جغرافیایی بک مدل دیگر از دستگاه مختصات کروی است که کاربرد اصلی آن در جغرافیا است اما در ریاضیات و فیزیک نیز استفاده‌هایی دارد. در جغرافی، ρ معمولاً حذف یا با مقداری که ارتفاع یا بلندی از سطح دریا را نشان می‌دهد جایگزین می‌شود.

عرض جغرافیایی ${delta},$ ، مکمل سمت‌الرأس یا متمم عرض جغرافیایی است و می‌تواند با این روابط تبدیل شود:

${delta}=90^circ - phi$ ، یا

${phi}=90^circ - delta$

با این وجود عرض جغرافیایی عمدتاً با φ نیز نمایش داده می‌شود. این، یک زاویه سمت‌الرأس را که از صفحهٔ xy سرچشمه می‌گیرد با دامنهٔ ‎ -90° ≤ φ ≤ 90° ‏ بیان می‌کند. طول جغرافیایی به وسیلهٔ درجه به شرق یا به غرب از 0° اندازه‌گیری می‌شود، بنابراین دامنه‌اش ‎ -180° ≤ θ ≤ 180° ‏ است.

دیفرانسیل‌ها

دیفرانسیل خطی:

$dmathbf{l} = drmathbf{hat r} + rd hetaoldsymbol{hat heta} + rsin heta dphioldsymbol{hat phi}$

دیفرانسیل سطحی:

$dmathbf{S} = r^2 sin heta d heta dphi mathbf{hat r} + rsin heta drdphi oldsymbol{hat heta} + rdrd hetaoldsymbol{hat phi}$

دیفرانسیل حجمی:

$dv = r^2sin heta drd heta dphi,$

نظرات شما عزیزان:


newmoon.ir‏	nanoclub.ir‏
	روشی که برای تبدیل یک	برچسبها: انیمیشن
	به عبارت دیگر ماتریس تبدیل ، ماتریسی است که یک وضعیت دستگاه مختصات را در ...	تصاویر تکمیلی بخش دستگاه مختصات افقی 3	حال در صفحه جدید، پارامترهای مختصات قطبی را بعنوان بقیه مختصات نقطه بیان ... daneshnameh.roshd.ir‏
حال می خواهیم ky.com‏	دستگاه مختصات قطبی 2	شکل 9) فضای کاغذ (راست) و فضای کاغذ (چپ)– نماد دستگاه مختصات نشان می دهد که ... jpg irancad.com‏	مختصههای دستگاه مختصات استوایی: مِیل: فاصلهی ستاره تا صفحهی استوا و بر حسب ...


	نام :
	وب :
	پیام :
	2+2=:


(Refresh)